음향홀로그램 집게, Holographic Acoustic Tweezers -(3)

1. 참조

 

음향홀로그램 집게, Holographic Acoustic Tweezers -(2)

음향홀로그램 집게, Holographic Acoustic Tweezers -(2)

위 글에 이어서 아래 논문을 분석합니다. 이 글을 읽기 전 상기한 링크를 꼭 읽어주세요.[1]

 

Marzo, A., & Drinkwater, B. W. (2018). Holographic acoustic tweezers. Proceedings of the National Academy of Sciences, 116(1), 84–89. https://doi.org/10.1073/pnas.1813047115

 

위 글 파트에서는 서론 단락을 분석하며 HAT와 HOT를 비교하고, HAT에서 물체를 트래핑할 수 있는 조건을 살펴보았습니다. 이 글부터는 트래핑 조건을 물리학적으로 분석하고, HAT를 구현한 구체적인  음향학적 방법론을 살펴봅니다. 

 

2. 음파가 물체를 가둘 수 있는 조건

정상파의 이미지

위 글에서 해설한 바와 같이 음향 조영 인자가 양의 값을 가지면 조영제 입자가 정상파의 마디로 모이고, 음의 값을 가지면 배로 모인다. 정상파라 하면 보통은 압력 변화(진폭)이 크고 작은 지점이  존재하는 1차원의 파동만을 생각하지만, 3차원 공간에서 물체를 트래핑하여 조작하기 위해서는 3차원적 파동 장(field, 場)을 고려하여야 한다. 이번 글에서는 이 장에는 어떤 종류가 있는지, 참고문헌의 다른 기사[3]를 참조하여 설명하고자 한다. 

 

2.1 Gor'kov 퍼텐셜 장

물리학에서 계산이 복잡한 벡터장을 다루기 편리한 스칼라장으로 변환하려는 시도는 일반적이다. 예를 들어 전하 밀도에 의해 만들어진 전기 벡터장을 생각할 때, 3차원에서 일일이 전기력 벡터를 구하여 더하고자 하는 것은 어려우므로 먼저 전하 밀도에 의한 퍼텐셜 장을 구하고, 그것의 그래디언트(gradient)로 전기장을 생각하는 것이다. (그래디언트 등 나블라를 이용한 장에서의 미분 연산 개념은 [3]를 참조하자.) 예시와 같이 연속적인 장을 이루는 힘은 퍼텐셜 장을 구하여 다룸이 일반적일 것이다.

스칼라 퍼텐셜 장 f의 그래디언트 벡터장

고르코프 퍼텐셜장 U애서 물체가 받는 힘 F

이 글에서 다루고자 하는 음파에 의해 조영제 물체가 받는 힘인 'trapping force'(포획력) 또한 마찬가지이다. 물체가 한 지점에 포획되려면, 지점을 둘러싼 근방(neighborhood, [4])의 포획력 벡터는 모두 해당 지점을 가리켜야 할 것이다. 달리 말해, 특정 지점에서의 포획력 벡터장은 수렴한다. 포획력 벡터장은 고르코프 퍼텐셜(Gor'kov Potential) 장의 그래디언트 벡터장의 반수(opposite number)가 되도록 정의된다. 그렇다면 특정 지점에서 포획력의 수렴 여부는 어떻게 판단할까? 함의 발산(divergence)이 음수인지 판단하면 된다.

3차원 직교 좌표계에서 퍼텐셜 f의 라플라시안

 

 우리는 그래디언트의 발산을 '라플라시안'이라 부르는데, 라플라시안 값이 음수라면 그 지점에서 수렴하고, 양수라면 발산하는 것으로 볼 수 있다. 전기 퍼텐셜의 라플라시안은 전하가 존재하는 지점에서만 양수 또는 음수이고, 이외의 중성 공간에서는 전기력이 얼마인지와 관계없이 0의 값을 가져 수렴하지도, 발산하지도 않는다. 고르코프 퍼텐셜 장 내에서는 받는 힘이 라플라시안 값의 반수이므로 라플라시안 값이 양수일 때 어떤 지점으로 힘이 수렴하게 된다. 달리 말해, 입자는 고르코프 라플라시안 함수가 최대화되는 지점을 향해 이동하여 고정되어 띄워질 것으로 생각할 수 있다. 

 

2.2 고르코프 장 이해하기

여러 음파 방출기를 이용해 고르코프 장을 형성할 때, 형성되는 고르코프 장은 오직 방출기들에서 발생되는 음파의 위상(phase)만을 변수로한 함수로 기술될 수 있다. 이  함수를 BFGS 옵티마이저(Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno  optimizer)[5]라 하는 일종의 최적화 알고리즘으로 한 지점의 고르코프 라플라시안 함숫값이 최대가 되도록 최적화해 특정 지점에 초점(focal point)가 만들어지게 할 수 있는데, 이 경우 이론적으로는 초점에 물체가 고정되게 된다. 음파장의 진폭 그래디언트에 의해서는 진폭이 큰 곳에서 진폭이 작은 곳으로, 속력 그래디언트에 의해서는 힘이 발생해 고르코프 그래디언트가 큰 곳으로 물체를 이동시키며 물체를 정확히 초점의 중심에 가둘 수 있다. 이를 이해하기 위해 먼저 고르코프 퍼텐셜의 장 식을 살펴보자:

고르코프 퍼텐셜장의 정의. 압력 장 p의 x, y, z방향 성분을 이용한다..

고르코프 퍼텐셜 장 식 속 상수의 정의

오일러 공식

 

먼저 가장 중요한 P는 장 내의 복소 압력(complex pressure)으로, 복소 압력은 음파에 의해 만들어진 압력을 표현하기 위해 '오일러 공식'을 이용, 복소 계수와 e에 관한 복소 지수함수로 압력의 장을 나타낸 것이다. 구형의 입자를 트래핑한다 했을 때, V는 트래핑하려는 입자의 부피, ω는 방출 음파의 각속도, ρ_P는 입자의 밀도, ρ₀는 매질의 밀도이다. c는 지점 내에서 소리의 속도로 아래첨자는 밀도와 동일하게 적용된다. 첫 번쨰 식인 고르코프 퍼텐셜 U의 식 중 첫 번째 항이 상기한 진폭 그래디언트에 관계되는 항이며, 두 번째 항이 속도 그래디언트에 관계되는 항으로 각각의 기능을 수행하며 입자가 초점에서 포획력을 받도록 한다.

 

2.3 방출기에 의해 형성되는 고르코프 장 모델링하기

상술한 바와 같이 고르코프 장이 어떻게 형성되는지는 동일한 여러 개의 음파 방출기에서 발생되는 음파들의 위상들로만 기술할 수 있다. 여러 음파 방출기에 번호를 붙인다 했을 때, j번째 음파 방출기가 한 지점에 만드는 복소 압력은 다음과 같다고 하자:

음파 방출기에서 방출되는 압력

j는 방출기 번호를 지정하는 첨자로, 지수가 아니다. φ는 각 방출기에서 방출하는 소리의 위상으로, 음파 부양에서 다루는 주 변수이다. M은 어떤 복소수로, 공간상의 특정 지점과 주어진 방출기에 관해서는 상수이다. 또한 선형성에 의해, 압력의 편미분은 단순히 주어진 방향으로 M을 편미분하는 것으로 계산 가능하기도 하다.

원하는 고르코프 장의 형성을 위해서는 먼저 위의 식에 의거, 원하는 복소압력 장을 형성할 수 있어야 하고, 이를 구현하려면  M의 값을 추정하는 방법론을 만들어야 한다. 그 방법으로는 실험적인 측정 외에 유한 차분법, 행렬법 등 수치해석적 방법이 있다. M의 값을 추정하기 위해, 먼저 원형 피스톤 모양의 방출기에서 상당한 원거리로 방출되는 음파를 다루기 위해 '원거리 장 모델(far-field model)'을 수립하자:

원거리 장 모델의 식

 

P는 음파 방출기의 출력에 비레하는 상수, J는 0차 1종 베셀 함수, k는 파수(ω/c), r은 피스톤의 반경, d는 피스톤과 방출기 간의 거리이다. θ는 음파 방출기가 놓인 방향(상단 판에 대한 법선)에 대한 음파 방출기로부터 특정 지점까지의 위치 벡터가 이루는 각도이다. 괄호는 0차 베셀 함수 J에 입력되는 수치로, 단순히 곱해서는 안된다. (베셀 함수는 물리학과 해석학에서 자주 등장하는 함수이니, [6]에서 그 내용을 확인하도록 하자.) 0차 베셀 함수는 거리에 따라 감쇄하는 함수로, 다음과 같이 표현된다:

0차 베셀 함수의 그래프

0차 베셀 함수의 식

이와 같이 원거리 장 모델은 비교적 정확하여, 실험적 결과와 매우 비슷한 것으로 측정된다.

최종 압력장의 식

이같이 원거리 장 모델에 의해 j번째 방출기에 관해 구한 각각의 복소 압력을 모두 더하면 어느 지점에서의 압력을 정확히 구할 수 있고, 이를 고르코프 퍼텐셜 식에 대입하여 그 라그랑지안을 최적화함으로써 원하는 지점에 물체를 고정시키는 작업을 수행할 수 있다. 식에 있는 대부분의 값이 상수이기 때문에, 원거리 장 모델에서 복소 압력장과 고르코프 퍼텐셜 장의 식은 오직 j개의 위상(φ)에 관한 함수로 생각할 수 있다. 최종적으로 고르코프 라플라시안 함수는 다음과 같이 표현된다:

고르코프 라플라시안 함수의 정의

2.4 원하는 고르코프 장 만들기

특정 지점에 물체를 트래핑할 수 있는 장을 만들기 위해서는 상술했듯 고르코프 라플라시안 함수를 최대화해야 하며, 동시에 음압(진폭) 자체는 최소화돼야 한다. 따라서, 다음과 같이 두 가지 목표 모두를 반영한 목표 함수가 최소가 되도록 장을 최적화해야 한다. 

목표 함수식. 압력에서 고르코프 라플라시안을 뺀 값을 최소화한다.

 

x, y z 성분 방향으로 목표함수를 정의

목표 함수에는 총 4개의 가중치(weight)가 설정되어 있다. wx, wy, wz는 특정 방향으로 포획력을 강화하거나 약화할 수 있는 가중치이며, 크면 1~1000의 값을 이용한다. wp는 고르코프 라플라시안을 최대화하는 목표와 진폭을 최소화하는 두 목표 중 어느 쪽에 얼마나 가중치를 두느냐를 조절하기 위해 도입된 가중치이다. 이 논문과 같이 1을 사용하여도 좋다.

 

3. 마무리

이번 글부터는 본격적으로 물리학으로서의 음향학을 다루기 시작했습니다. 비교적 가볍게 음향홀로그램 집게 트렌드를 다루던 이전 글들과 다르게, 수학이 좀 많아졌습니다. 따라오기 힘들겠지만 이 시리즈를 꾸준히 읽다 보면 금세 음향홀로그램 집게를 직접 구현할 정도의 지식을 갖게 될 겁니다. 잡담을 얹자면 이 파트부터는 저도 자료를 조사하고, 글 하나 쓰는 데 꽤 긴 시간이 걸리는 것 같습니다.

다음 글에서는 이 목표 함수를 효율적으로 계산하고, 실제로  BFGS 알고리즘으로 최적화한다는 것이 어떤 작업인지 다루고자 합니다. 본래 살펴보고 있던 논문으로 돌아가는 데는 좀 걸리겠지만, 우선 두세 개의 글을 통해 Acoustic levitation을 물리학적으로 이해하고 돌아가면 좋을 것 같습니다.

 

참고문헌

[1] Marzo, A., & Drinkwater, B. W. (2018). Holographic acoustic tweezers. Proceedings of the National Academy of Sciences, 116(1), 84–89. https://doi.org/10.1073/pnas.1813047115

[2]Marzo, A., Seah, S. A., Drinkwater, B. W., Sahoo, D. R., Long, B., & Subramanian, S. (2015). Holographic acoustic elements for manipulation of levitated objects. Nature Communications, 6(1). https://doi.org/10.1038/ncomms9661

[3]나블라 - 나무위키. (n.d.). https://namu.wiki/w/나블라

[4] Wikimedia Foundation. (2024a, April 17). Neighbourhood (mathematics). Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Neighbourhood_(mathematics)

[5] Wikimedia Foundation. (2024, October 13). Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno algorithm. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Broyden%E2%80%93Fletcher%E2%80%93Goldfarb%E2%80%93Shanno_algorithm

[6]베셀 함수 - 나무위키. (n.d.-b). https://namu.wiki/w/베셀 함수